【速報】静岡県公立一般入試問題！2023年度数学から空間図形の解説！

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近隣の葵小・横内小・竜南小・城北小・伝馬町小、城内中・静岡東中の方々にお世話になっております。

受験生の皆様お疲れさまでした！

早速本日の入試問題を4教科(国語以外)解きましたので解説ブログをアップしていきます。

数学(空間図形)

まずはじめに…以前アップしたこちらの私の数学の予測ですが、

空間図形はほぼ外れました。申し訳ございません。

今年は数学でかなり傾向が変わりました。

中でも空間図形のラスト問題・平面図形のラスト問題はかなりの難易度です！

取れる問題をしっかり正解できるかが合否の分け目でした。

(1)、(2)について

私の知る限りでは初めての問題が出題されました。

(1)で投影図。(2)でおうぎ形の弧の長さを求める問題。

投影図について簡単に補足しておきますね。

真上から見た平面図はほぼそのまま底面の形を表します。

そして真正面から見た立面図について

(ⅰ)長方形⇒角柱・円柱

(ⅱ)三角形⇒錐体

(ⅲ)円⇒基本的には球

を表します。今回は円錐なので平面図が円・立面図が三角形の選択肢『ウ』が正解になります。

ラスト問題がなぜ難問なのか？

△ODFの面積を求めろ。かなりの難問だと思います。

数学において、面積を求める問題は直接求めるのではなく工夫して解くのが一般的です。

例えば他の面積がわかる図形と比べて割合で求めたり、体積から高さをわり算して求めたりすることが多いです。

今回は空間内の三角形の面積を求めるため、体積から逆に求めるやり方で考えましたが…うまくいきませんでした。

体積は出ましたが高さがいまいち求まらないのですよね…

では仕方ない。直接面積を求めよう！と発想が変換できた方！お見事です！

ここで普通に面積を求めるのではなく、３辺の長さがわかる三角形の面積を求めることが可能なことはご存知でしょうか？

今回はその方法でアプローチしていきます！

3つの辺の長さを求めましょう！

方針が決まったらあとは手を動かすのみです！

①OFは底面の半径なので３です。(単位は省略)

②ODは△DOEで三平方の定理を使用。

OEは半径の半分より3/2。DEはAOの半分より3√3/2

よってODの長さは三平方より3と出ます。(△ODBが二等辺三角形に気付くともっと早く求まります)

③DFは△DEFで三平方の定理です。

さらにEFは△OEFで三平方。OE=3/2、OF=3より、EF=3√3/2です。

よってDF=3√6/2

これで△ODFの3辺の長さが求まりました！ＯＦを底辺としてDから垂線DHを下します。

ＦＨ＝Ｘと置くと、OH=3-Xとなり、

左側の△DOHで、DH²=DO²-OH²

右側の△DFHで、DH²=DF²-FH²

よってDO²-OH²＝DF²-FH²となり、

3²-(3-X)²=(3√6/2)²-X²より、X=9/4

そして△DOHでDO=3、OH=3-9/4=3/4。

三平方の定理より、DH=3√15/4となり、これが求める△ODFの高さになります。

最後に底辺×高さ÷２より、3×3√15/4÷2=9√15/8が答えになります。

まとめ

ブログではかなり伝わりにくいと思います…

ポイントは３辺の長さがわかる三角形は面積が求められるというところに気付けたかどうかです。

もちろんこれ以外にも解き方はたくさんあるかと思います！

本日はそろそろ授業なのでこれ以上の分析はできませんが、また時間を見つけて別アプローチも考えてみます。

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