【速報①】静岡県公立一般入試!数学から空間図形の解説!

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本日公立一般入試本番です!可能な限り解説をしていきます!

大問4!空間図形

今年の空間図形の問題は例年通り、難易度は普通くらいです。

過去問で対策が詰めていれば簡単に解くことができたでしょう。

(1)で『ねじれの位置+面に平行な辺』、(2)で『空間内の線分の長さを求める』

ここまでは簡単に済ませ、(3)メインで解説します!

1. ねじれの位置+面に平行な辺

直方体の中で、辺CDとねじれの位置にあり、面BFGCと平行な辺を答える問題です。

まず、辺CDとねじれの位置にある辺は、辺AE,BF,EH,FGの4つです。

この中で面BFGCと平行な辺は、辺AE,EHの2つでこれが答えになります。

2. 空間内の線分の長さ

AB=4㎝、AD=4㎝、AE=6㎝

さらに(2)は、ADの中点をKとし、CL=2㎝となるような点Lをとります。

このときの線分KLの長さを求めます。

まず空間内の長さを求める時はその線分を含むように切断します。

今回は点K,C,Lを通るように切断し、直角三角形KLCで三平方の定理を使います。

このとき、CLの長さは2㎝と分かっているので、KCの長さ直角三角形DKCで三平方の定理を使って求めます。

DK=2㎝、DC=4㎝より、KC2=22+42

KC2=20より、KL2=20+22

よって求めたい線分KLの長さは2√6です。

3. 三角錐THRGの体積

ラストは、辺EFの中点をR、CS=1となる点SをCD上にとる。

またSEとDFの交点をTとしたとき、三角錐THRGの体積を求めます。

全体の直方体を比べて比で求めるやり方も良いですが、今回は直接体積を求めます。

底面の二等辺三角形RGHはの面積はすぐに求まります。4×4÷2=8です。

Tから底面に降ろした垂線(TIとしましょう)、つまりこの三角錐の高さを求めれば終了です。

TIは空間内の線分なので切断します。直角三角形DHFで考えましょう。

相似な図形のピラミッド型で、DH=6㎝がわかっているため次の目標はTがDFを何対何の比に分けているのかです。

一直線上の比を求めるためには砂時計型の相似に注目しましょう!

そこで最後のヒント(点S)を手掛かりに上記の砂時計型で考えましょう。

相似比3:4より、DF:TF=7:4

よってTI=6×4/7となり、24/7

求める体積は8×24/7×1/3=64/7㎝となります。

※ラスト、×1/3を忘れないようにしてくださいね。

まとめ

繰り返しにはなりますが、難易度・出題傾向ともに例年レベルです。

過去問をやっていれば間違いなく6分以内に解ける問題です。

次回は関数について解説ブログをアップする予定なので、また楽しみにしていてください。

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