【速報３】静岡県公立一般入試！2023年度数学から平面図形の解説
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2023年度の平面図形
傾向はこれまでとほとんど変わりありません。
(1)で三角形の相似の証明。(2)で相似を利用した長さの問題。
証明はこれまでの難易度とほぼ変わらないレベルでした。
しかし(2)の長さを求める問題はそこそこ難易度が高かったです。
今回はこの(2)と、空間図形のラスト問題を捨てて44点まで取れれば十分だったと思います。
相似の証明
今回の証明は仮定がたくさんありましたね。
個人的には好きではない問題です。仮定が多いほど証明が長くなるからです。
事実、私の証明のラストは③、⑩より2組の角がそれぞれ等しいのでで締めくくっております。
さて簡単にポイントだけ解説しておきます。
△BCGと△ECFが相似であることを証明しなさい。
弧DCに対する円周角と、平行線の同位角から∠GBC=∠FEC。
これは簡単だったと思います。
次は∠BCG=∠ECFを示しましょう！(二等辺三角形の底角が使いやすいのでこちらを示します。)
∠Cに良く注目してください！！
∠BCG=∠BCA－∠GCAとなっておりますね？
∠ECF=∠GCD－∠GCAになっています。
(同じ角度)－(同じ角度)＝同じ大きさの角度になりますよね？
よって目標は∠BCA=∠GCDを示すことです。
つまり二つの二等辺三角形の底角どうしが等しいことが示せればこの問題は解けます！
あとは弧BCの円周角で∠BAC=∠BDCを示せば終了です。
長さを求めるためのアプローチ
こちらは50分という試験時間を考えたときに難問と言えます。
GEの長さを求める問題ですが全長のBDが６と与えられています。
また△GEDが二等辺三角形でGCが４と与えられていますのでGDも４になりますね。
こういった問題に対しては全長BDもしくはGDに対してGEがどれだけの割合か。
つまり比を求めて計算する方法が一般的ですが、残念ながら静岡においてこの考え方はあまり有効ではありません。
この問題はＧDからEDの長さを引くというアプローチで試みます。
よって目標はEDの長さです！
そのEDを含んだ△FDEに注目しましょう！
※△ADEに注目しない理由は、△FDEの方が二等辺三角形や(1)の相似のヒントが使いやすそうなためです。
(1)より△ABCと△GCDの底角どうしは等しいことが分かっています。
弧ABの円周角より∠ACB=∠ADB、平行線の錯角より∠ADB=∠DEF。
よって注目した△FDEはFD=FEの二等辺三角形であり、△ABCと△GCDと相似です！
(1)で△BCGと△ECFが相似であることを証明したので相似比2:1、BG＝2より、FE=1。
△GCD∽△FDEで相似比4:1、CD=2+1=3よりDE=3×1/4=3/4
よって求めたいGE=4－3/4=13/4で終了です。
まとめ
平面図形で長さを求める際は、スタートから考えるのではなくゴールから考えてみてください。
練習を積んでいけば必ず解けるようになります！
今年の数学は難問もありましたが、全体的な難易度は高いとは言えません。
しっかり捨て問を作り、取るべき問題でミスをしなければ良い点数が取れたと思います。
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